你见过两个完全长得一模一样的人吗？

有的朋友肯定会说，很对双胞胎就长得很像，不注意就区分不开！

他们只是长得很像，并非一模一样！

士心见过几十对的双胞胎，他们之间或多或少都会有些差别。

但几何就不一样，几何中存在能够完全重合的图形。

如果两个图形能够完全重合在一起，我们就称它们为全等形。

今天要给你介绍的就是，两个三角形的全等。

全等三角形的定义

定义八:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

为了把两个全等三角形重合在一起，你可以采用平移、翻折、旋转等各种手段。

但必须保证既不改变三角形的形状，也不改变它的大小。

两个全等三角形，重合的顶点叫做对应顶点，角叫做对应角，边叫做对应边。

比如下图中的两个全等三角形:

顶点G对应点H，顶点F对应顶点M；

∠F对应∠M，∠E对应∠N；

边EG对应边NH，边FG对应边MH...

这两个三角形全等，可以记作:

△FEG≌△MNH

读作:三角形FEG全等于三角形MNH。

注意:对应顶点一定要对应排序。

全等三角形的性质

如果两个三角形全等，它们具有有哪些性质呢？

性质七:全等三角形的对应边相等，对应角也相等。

仍然以课本习题为例:

5.简析:∠ACD=∠BCE。

因为两三角形全等，

所以∠DCE=∠ACB

故∠ACD=∠DCE-∠ACE

=∠ACB-∠ACE=∠BCE。

这里要提醒你的是，就算题中没有CA和CD，CB和CE是对应边的描述，你也应该知道他们是相互对应的。

因为△ABC≌△DEC里面早有对应关系。

6.简析:

对应边:AE、AD；EC、DB；AC、AB。

对应角:∠A、∠A；∠AEC、∠ADB；∠ACE、∠ABD。

(2)∠ADB=180°-∠A-∠ABD=91°

∠ADB=∠1+∠BCD=∠1+(∠2+∠ACE)

而∠1=∠2，∠ACE=∠ABD

∴2∠1=∠ADB-∠ABD=52°

∴∠1=26°。

全等三角形的判定

全等三角形的性质是已知两个三角形全等，看能得到什么结果。

全等三角形的判定是已知某些条件，去断定两个三角形是全等三角形。

而定义则是，满足此条件的都是全等三角形。反之，全等三角形也都满足此条件。

要判定两个三角形是否全等，至少需要三个条件，我们有如下判定。

判定一(三角形全等判定):三边分别相等的两个三角形全等。(简写为“边边边”或“SSS”)

该判定定理还可以这样理解:

两个三角形如果三边分别对应相等，不妨让它们具有一条公共边。

如图，△ABC₁与△ABC有公共边AB。

∵边AC=AC₁

∴以A为圆心，AC为半径作圆，C₁一定在⊙A的圆周上。

同理，C₁也一定在⊙B的圆周上。

如图，两个圆的交点只有两个。如果是C，两三角形原本就是重合的。

如果是C₁，两个三角形一定关于圆心连接线AB对称，也能够完全重合。

判定二(三角形全等判定):两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。(简写为“边角边”或“SAS”)

判定三(三角形全等判定):两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。(简写为“角边角”或“ASA”)

判定四(三角形全等判定):两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。(简写为“角角边”或“AAS”)

推论:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。(简写成“斜边、直角边”或“HL”)

习题简析与例题

12.简析:AE=CE

由“AAS”可证△ADE≌△CFE。

13.简析:图中有△ABD≌△ACD (SSS)，△ABE≌△ACE (SAS)，△BDE≌△CDE (SSS)。

例一:如图

分析:题目本身是一个等腰三角形的三线合一的逆定理。

但本系列文章中，目前为止还没有提到过等腰三角形的相关知识。所以这里用全等三角形进行证明。

可以先证△BDE≌△CDF (AAS)，得到BD=CD后，再证△ABD≌△ACD。

练习:如图，AE=CE， ∠B=∠D=∠AEC=90°，AB=3，CD=2，求BD的长。

题目很简单，希望你能找到合适的全等三角形。